Симметрия в орнаментах узорах в народных костюмах. Правила построения орнаментальной композиции. Орнамент и законы симметрии. Симметрия сквозь века

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение 3

Глава 2. Правила построения орнаментальной композиции. Орнамент и законы симметрии 7

Глава 3. Результаты исследования 10

Заключение 14

Список использованной литературы 15

Приложение 1 16

Приложение 2 19

Приложение 3 20

Введение

В этом учебном году мы рассматривали тему «Симметрия» на уроках математики. Меня очень заинтересовала данная тема. Симметрия встречается в природе, в науке и в искусстве - во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии. Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук.

Рассмотрев свои работы, сделанные в художественной школе, я обнаружила, что большинство из них подчинены законам симметрии. Так же в художественной школе я узнала, что такое орнамент и решила провести исследование как можно рассматривать орнаментальный мотив композиции в узорах с точки зрения математики.

Гипотеза: возможно симметрия основное преобразование фигур для создания орнаментальных мотивов.

Объект исследования: орнамент

Предмет исследования: симметрия узоров

Цель работы - доказать, что симметрия и орнамент - это единое целое.

1. Изучить содержание и форму орнаментов и орнаментальных мотивов.

2. Охарактеризовать правила построения орнаментальной композиции.

3. Исследовать, как проявляется симметрия в орнаментах на примере своих работ, работ своих товарищей по художественной школе и предметов экспозиции Рославльского историко-художественного музея.

Методы: изучение, сравнение, описание, работа с информационными источниками.

Глава I. Содержание и форма орнаментов и орнаментальных мотивов

Все орнаментальные рисунки по их изобразительным возможностям подразделяются на три вида:

орнамент изобразительный, включающий в себя конкретный рисунок человека, животных, растений, пейзажные или архитектурные мотивы, рисунок предметов неживой природы или сложную эмблему;

орнамент неизобразительный, образованный из геометрических элементов, абстрактных форм, лишенных конкретного предметного содержания;

орнамент комбинированный, представляющий собой сочетание изобразительных мотивов или отдельных элементов, с одной стороны, и абстрактных форм с другой.

Самый сложный неизобразительный орнаментальный узор, или мотив, по существу состоит из простейших геометрических элементов правильной или неправильной формы.

Начнем с точки, которая мало что значит сама по себе, но при ее умелом ритмическом повторении можно добиться интересного декоративного эффекта.

Наиболее точно передает характер очертаний любой формы линия. Она является основным формообразующим элементом. И если число абстрактных неизобразительных форм весьма велико, то линий, которые резко отличаются одна от другой, только три:

прямые — вертикальные, горизонтальные, наклонные;

кривые — с постоянным радиусом кривизны — окружности и их дуги;

кривые — с переменным радиусом кривизны — параболы, гиперболы и их отрезки.

Эти линии являются первичными элементами для всех орнаментальных образований. Все три вида линий обладают определенной зрительной выразительностью и не похожи одна на другую.

Сами по себе прямые и кривые линии не являются носителями художественной выразительности. Но при определенных условиях они могут «обнаружить» скрытый в них эмоциональный заряд.

Так, прямые и кривые с постоянным радиусом кривизны способны выразить плавное, спокойное движение. В природе этих линий лежат постоянство, статика, уравновешенность; при этом считается, что горизонтальные линии в орнаменте символизируют стройность, строгость, определенную стабильность, наклонные же прямые линии создают впечатление постоянного движения.

Линия, или лента, широко использовалась в орнаменте, чтобы разграничить отдельные мотивы.

Зигзаг, или ломаная линия, в Древнем Египте служила знаком воды. Она находила применение в орнаментах многих народов в самые разные времена.

Квадрат и прямоугольник являются основной формой в орнаменте. Они, прежде всего, служат для ограничения поверхности, заполненной орнаментальными мотивами. так же для ограничения декорируемой поверхности служат ромб, шестиугольник и восьмиугольник.

Окружность считается одной из самых совершенных и законченных форм. Она используется и как собственно орнаментальный элемент, и для ограничения поверхности, включающей в себя другие мотивы.

Мотив спирали стал излюбленным мотивом в древнем искусстве Египта, Ассирии, Греции. Он является символическим изображением истории развития мира.

Линии с переменным радиусом кривизны несут в себе динамичность, напряженность, неравномерность и активное движение (нарастающее и убывающее). Особенно остро способны выразить динамичность ломаные линии с острыми углами — так называемые молниеобразные.

Любой неизобразительный орнаментальный мотив состоит из комбинации тех или иных линий или замкнутых фигур. В одних случаях это только прямые или кривые линии, в других сочетание различных линий или фигурных элементов в одном мотиве. Ритмическая организация элементов в мотиве создает условия, стимулирующие проявление цветопластических свойств этих элементов.

В числе орнаментов изобразительной группы самым распространенным является растительный орнамент. При создании такого рода узора все народы вдохновлялись местной флорой, заимствуя из нее относительно немногочисленные мотивы.

Вот наиболее распространенные из них с древнейших времен.

Лотос на Древнем Востоке имел культовое значение. Лотос был посвящен богу Осирису и богине Исиде и служил символом плодородия.

Пальмы со своими веерообразными и перистыми листьями служили у древних евреев и египтян символом мира и победы. Орнаментальная форма растения получила наименование пальметты.

Лист и завиток аканта, вслед за пальметтой и лотосом, пользовались особой популярностью у художников, которых привлекала красота зубчатых листьев этого дикорастущего растения юга Европы.

Хмель — культурное растение, живописный вид которого способствовал широкому применению форм растения в орнаментике.

Виноградная лоза — гроздья и ветви пользовались особым почитанием в античности и в средние века.

Плющ — вечнозеленый вьющийся кустарник, иногда дерево; подобно виноградной лозе был посвящен Вакху.

Дуб — царь лесов, символ силы и могущества. В настоящее время изображение листьев дуба вместе с лавром можно встретить на медалях и монетах.

Цветы широко используются в орнаментальных мотивах всех времен и стилей. Они служат украшением тканей, обоев, посуды и других видов декоративного искусства.

Розетка — в собственном смысле этого слова это стилизованная роза. В орнаментике же розеткой называют орнаментальный мотив в виде распустившегося цветка, преимущественно круглой формы.

Животный орнамент — наиболее распространенный орнамент среди изобразительной группы, вслед за растительным. Но фауна используется в орнаментальном творчестве значительно меньше, чем флора. Это объясняется как свойствами самого материала, труднее подвергающегося художественной переработке, так и запретами части религий на фигурные изображения.

Чаще других встречались изображения льва, тигра, быка, слона, лошади, грифа, орла, дельфина и др., которые в большинстве своем имели символическое значение.

Глава 2. Правила построения орнаментальной композиции. Орнамент и законы симметрии

В основе построения орнамента, составленного из абстрактных или изобразительных мотивов, лежит многократное повторение этих мотивов по законам симметрии.

Симметрия — это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самой собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях. Различные виды симметрии изучаются специальными разделами математики.

В науке о симметрии различают два типа симметрии: конечные и бесконечные, чья структура может быть продолжена в одном, в двух или трех направлениях. В орнаменте используются оба эти типа симметричных структур.

Среди наиболее распространенных видов симметрии, используемых при создании орнаментальных композиций, находится симметрия относительно прямой. Это когда предмет или фигура делятся прямой на две половины так, чтобы одна половина, при перегибе совпала с другой. Симметрия относительно прямой присуща телу человека, телам многих животных. Она способствует впечатлению уравновешенности и покоя. В орнаменте сохраняется то же ощущение.

Другой вид симметрии осевая симметрия, при которой фигуры совмещаются посредством поворота вокруг оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Количество таких совмещений на протяжении полного кругового оборота фигуры называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой выраженный целым числом порядок — от второго до бесконечности.

Фигур с осевой симметрией может быть бесконечное множество. Для них характерна четкая организация, когда равные друг другу части распределены вокруг единого центра (точка, через которую проходит ось симметрии) равномерно и в одинаковом к нему отношении. При этом все углы поворотов совпадения фигуры с самой собой должны быть равны, иначе полного совпадения не произойдет. Расстояние от однохарактерных точек фигуры до центра также должно быть одинаково.

Осевая симметрия часто встречается в природе, широко применяется в орнаментах: симметрия цветка и орнаментального аналога — розетки.

Когда фигура имеет узор, построенный на основе только осевой симметрии, то этот орнамент производит впечатление бесконечной подвижности и выражает вращательное движение в определенном направлении.

Мотивы, обладающие симметрией такого рода, получили в орнаментальном искусстве особенное распространение и значение. Завершенность их формы создает образ гармоничного покоя. Цельность и замкнутость формы позволяет организовать любую поверхность, отметив ее центр, противопоставленный периферии.

Все рассматриваемые выше симметрии относятся к ограниченным симметричным структурам конечных фигур орнамента. Знакомство с новым видом симметрии — параллельным переносом поможет понять, как устроены потенциально бесконечные узоры.

Если вдоль оси равномерно расположить декоративные одинаковые мотивы, то таким образом образуется ленточный орнамент, бордюр, который может быть бесконечно продолжен в обе стороны. Такому орнаменту присуща особая симметрия: если его сдвинуть вдоль оси на одно звено, то каждая из фигур узора наложится на среднюю фигуру, совместится с ней.

Ленточный (линейный) бордюр — один из наиболее распространенных и важных видов орнамента. Он постоянно используется для ограничения какой-либо поверхности, отличающейся разнообразными художественными качествами. На практике линейный орнамент может строиться не только вдоль прямой оси, но и по ломаной или различным образом изогнутой линии. В любом случае эта линия остается для орнамента осью, т. е. перенос мыслится совершаемым вдоль нее, вслед за любыми ее изгибами и переломами.

Бордюр кроме симметрии переноса может также обладать и другими элементами симметрии. Они возникают тогда, когда тот или иной вид симметрии присущ каждому отдельно взятому элементарному мотиву орнамента. Всего разных видов симметрии бордюров насчитывается семь, и впечатление от них, художественные возможности каждого примененного в орнаменте вида оказываются различными.

Основой сетчатых орнаментов (раппортов) является простая сетка. Ячейки такой сетки могут быть квадратами, ромбами, прямоугольниками, параллелограммами или равносторонними треугольниками. В зависимости от этого меняется характер симметрии самой сетки, а значит, и построенного на ней орнамента. Кроме того, на симметрию узора влияют, как и в бордюрах, элементы симметрии самого повторяемого мотива.

Всего математики насчитывают 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Здесь могут осуществляться в разных сочетаниях уже известные нам виды симметрии: относительно точки, относительно прямой, параллельный перенос. И в каждом случае определенный набор возможных отражений и поворотов влияет на ритмику узора, создает свою меру уравновешенности и подвижности, свои направления.

Глава 3. Результаты исследования

Изучив литературу в краеведческом отделе Рославльской Центральной библиотеки им. Н.И. Рыленкова по теме работы, я решила исследовать, какие виды орнамента используются чаще и как проявляется симметрия в узорах орнаментов на примере своих работ, работ своих товарищей по художественной школе и предметов экспозиции Рославльского историко-художественного музея.

Виды орнамента

Элементы орнамента присутствуют в 10 рисунках, растительный орнамент - 2, животный орнамент - 2, сетчатый орнамент - 2, графический орнамент - 8

Орнамент народного костюма

Элементы орнамента присутствуют в 4 предметах, растительный орнамент - 1, животный орнамент - 0, сетчатый орнамент - 3, графический орнамент - 3

Орнамент предметов быта

Элементы орнамента присутствуют в 4 предметах, растительный орнамент - 2, животный орнамент - 0, сетчатый орнамент - 2, графический орнамент - 2

Рис.1 Сравнительная диаграмма объектов исследования по видам орнамента (данные в %)

Вывод: чаще всего в рисунках, народных костюмах и предметах быта используется графический орнамент, так же пользуется популярностью сетчатый орнамент - это обусловлено тем, что данные виды орнамента легче изображать, чем животный и растительный.

Симметрия узора орнамента

1. Рисунки

В качестве объектов исследования были взяты 10 рисунков (Приложение 1).

Элементы орнамента присутствуют в 10 рисунках, симметрия рисунка - 6, симметрия относительно точки - 3, симметрия относительно прямой - 5, симметрия переноса - 4.

2. Орнамент народного костюма

В качестве объектов исследования были взяты 4 предмета: поделка - кукла в народном костюме, костюм женщины, мужская рубаха и кушак из экспозиции Рославльского историко-художественного музея (Приложение 2).

3. Орнамент предметов быта

В качестве объектов исследования были взяты 4 предметы: поделка - полотенце, рисунок которого выполнен техникой «батик», шторы на окнах, божник (иконник) и рушник из экспозиции Рославльского историко-художественного музея (Приложение 3)

Элементы орнамента присутствуют в 4 предметах, симметрия рисунка - 4, симметрия относительно точки - 2, симметрия относительно прямой - 4, симметрия переноса - 4.

Рис.2 Сравнительная диаграмма объектов исследования по симметрии узора орнамента (данные в %)

Вывод: во всех деталях узоров народных костюмов и предметов быта, а так же в большинстве рисунков используются различные виды симметрии, симметрия относительно прямой и симметрия параллельного переноса встречаются чаще, чем симметрия относительно точки.

Заключение

В данной работе я рассмотрела симметрию в орнаментах на примерах своих работ, работ своих товарищей по художественной школе и предметов экспозиции Рославльского историко-художественного музея. В результате проведенного исследования я увидела, что:

Сложность орнаментальных форм подчинена законам симметрии.

Преобладающими орнаментальными мотивами являются графические и сетчатые орнаменты.

Для большинства орнаментов характерны такие виды симметрии, как симметрия относительно прямой и симметрия переноса.

Задачи, поставленные в данной работе, являются полностью решенными. Я научилась работать с информационными источниками, использовать такие методы исследования, как изучение, сравнение и описание.

Данное исследование помогло мне более внимательно и аккуратно изображать орнаменты и рисунки, в которых используется симметрия, так как я детально разобралась в приемах отображения деталей орнамента симметрично относительно точки, прямой и с помощью параллельного переноса.

Я доказала, что симметрия и орнамент - это единое целое и буду продолжать исследовательскую работу по изучению других, более сложных видов симметрии, используемых при построении орнаментальных мотивов.

Список использованной литературы

Бесчастнов Н.П. Художественный язык орнамента. М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2010. - 335 с.

Буткевич Л.М. История орнамента. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2010. - 267 с.

Фокина Л.В. Орнамент: учебное пособие. - Ростов н/Д: Феникс, 2007. - 172 с.

http://yandex.ru

http://900igr.net/kartinki/geometrija/Ornament/054-Povorot.html

http://sphinks-t.ru/page-foto-russkie-uzori

http://podelki.mybabbie.ru/vyazanie/vyazanie-geometricheskie-ornamenty

http://vector-images.com/clipart/clp740303

Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3

Выполнили:
Горбунова Наталья Александровна,
Криулина Анна Александровна,
учащиеся группы Л-21

Руководитель:
Мильчакова Татьяна Михайловна,
преподаватель математики
Киров
2007

1. ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ТЕМЫ.
В настоящее время наблюдается снижение интереса к математике у студентов. Это вызвано недостаточной насыщенностью учебного содержания прикладными аспектами, которые выявляли бы связь математики с окружающей действительностью. Сегодня, для того, чтобы конструировать модели различных процессов, создавать хорошие компьютерные программы, человеку необходимо широко мыслить, видеть проявления математики в самых разных областях и уметь их использовать в своей практической деятельности. Поэтому актуальным вопросом сегодня является выявление взаимосвязей как внутри самой математики, так и между математикой и другими областями знаний.
Одной из наиболее благоприятных тем курса математики, изучение которой может способствовать интеграции знаний, а также эстетическому воспитанию, развитию творческих и интеллектуальных способностей студентов, является тема «Симметрия». Занятия, связанные с симметрией, могут иметь практическую направленность и отражать межпредметную интеграцию.
Симметрию, пропорциональность, периодичность человек видит везде: в природе, в музыке, в архитектуре, в живописи. На современном этапе развития науки принцип симметрии охватывает все новые и новые области. Симметрию, и связанную с ней тему пропорции можно отнести к одним из основных закономерностей математического характера в устройстве Вселенной. Явление симметрии можно рассматривать в абсолютно разных областях нашей жизни. И знание ее законов в одной области может позволить сделать выводы, касающиеся предметов из другой области. Все это может стать дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математических дисциплин, а также понимания и осознания положения об универсальности математических знаний.

2. ЦЕЛЬ И КРАТКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ.

Целью нашей работы является расширение представлений студентов о понятии «Симметрия» и формирование умения выявлять принцип симметрии, различные ее виды в явлениях окружающей действительности, в частности, в древнерусских орнаментах.
Задачи работы состоят в следующем:
- обобщить и расширить представление о симметрии в математике;
- расширить представления о сферах применения математики (на примерах проникновения симметрии в искусство, в частности, в архитектуру);
- научить видеть различные проявления симметрии в искусстве;
- расширить сферу математических знаний студентов (виды симметрии);
- расширить общекультурный кругозор посредством знакомства с образцами искусства, в частности, с шедеврами древнерусского зодчества, расположенными в современном Кирове.

3. ИЗ ИСТОРИИ ОРНАМЕНТА.

Геометрический орнамент возник на заре человеческой культуры. Что могло быть проще прямых или волнистых линий, кругов, клеток, крестов? Именно эти мотивы украшают стенки глиняных сосудов первобытных людей, древнейшие изделия из камня, металла, дерева и кости. Для древнего человека они были условными знаками, с помощью которых он мог выражать свое понятие о мире. Прямая горизонтальная линия означала землю, волнистая – воду, крест – огонь, ромб, круг или квадрат – солнце. Из комбинаций тех же простейших элементов составляли более сложные знаки – символы. Нередко они играли роль оберега, их чертили как заклинание. Много труда и сил положили археологи и этнографы, расшифровывая древние символы.
В вышивку большая часть геометрических узоров также пришла из глубокой древности, когда многие из них имели определенный символический смысл. Вероятно, когда-то не было произвольным и расположение орнаментов на предметах.
То же самое мы видим и в народной архитектуре: декоративные элементы располагаются на воротах, вокруг окон; то или иное освящённое изображение увенчивало наивысшую точку дома – шипец крыши.
Вышивкой украшали гладкую поверхность полотна, а на ней были возможны лишь несколько вариантов композиций орнаментов – простое чередование фигур и ряды, расположенные по вертикали, горизонтали и диагонали. Народная смекалка и здесь нашла выход в построении орнамента не только вширь, но и в глубь, создав многоплановые изображения в одной плоскости. При повторении одного геометрического мотива промежутки фона между фигурами также приобретают вид узора. Тогда весь орнамент кажется нам как бы двухмерным: узор и фон становятся равноправными и могут меняться местами. Такой прием особенно характерен для вышивок, исполненных в технике цветной перевити.
Среди различных мотивов можно выделить следующие, характерные для русского орнамента.

 Мотив «обереговых» знаков, которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища
 Мотив плетёнки, характерный для так называемых русальских браслетов, которые трактовались как знак воды и царства подземного владыки Переплута
 Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения преставления о великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования
 Мотив древа жизни
Большое место орнамент занял в народном художественном ремесле. Один из крупнейших чешских исследователей народной культуры Йозеф Выдра выделяет четыре главные функции орнамента:
1) конструктивную — она поддерживает тектонику предмета и влияет на его пространственное восприятие;
2) эксплуатационную — она облегчает пользование предметом;
3) репрезентационную — она увеличивает впечатление ценности предмета;
4) психическую — она действует на человека своим символизмом и, таким образом, волнует или успокаивает его.
Древнейшие мотивы, изображавшие подобие пиктограммы (квадрат, ромб, круг) являлись условными символами солнца и считались священными изображениями. Кроме геометрического, в орнаменте Древней Руси, очень часто можно встретить различные древние языческие сюжеты. Например, женская фигура олицетворяла богиню земли, плодородия; водоплавающие птицы — водную стихию. В языческом искусстве древо жизни воплощало силу живой природы, оно изображало божественное древо, от которого зависело произрастание трав, хлебных злаков, деревьев и «рост» самого человека. Очень часто можно встретить сюжеты магических календарных обрядов, которые связанны с основными этапами сельскохозяйственных работ.
Из всего богатства мотивов орнаментального искусства Древней Руси, все-таки можно выделить самый популярный мотив – растительный. Растительный мотив присутствует в основе всех орнаментов Древней Руси. Самый распространенный из них мотив вьющейся лозы с крупными цветами, заключенными в круги, образованные отростками.
Орнаментальное искусство Древней Руси играет очень большую роль как в развитии декоративно-прикладного искусства на Руси, так и искусства в целом. Орнамент – это уникальный инструмент, который достоин, существовать как самостоятельное направление искусства.

4. ВИДЫ СИММЕТРИИ.

Симметрия – это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самим собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях.
В науке о симметрии различают два типа симметрии: конечные (например, розетки) и бесконечные, чья структура может быть продолжена в одном (волнистая линия, меандр и т д), в двух или трех направлениях. В орнаменте используются оба эти типа симметричных структур.

4.1 Зеркальная симметрия.
Наиболее распространенный вид симметрии в орнаментах. Предмет или фигура делятся на две половины плоскостью так, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости как в зеркале, совпала с другой. Можно встретить зеркальную симметрию и в изобразительных композициях вовсе не орнаментального характера. Особенно присущее искусствам древних народов стремление придавать изображениям устойчивую неподвижность, воплощать в них не что-то переходящее, временное, но вечное и неизменное, побуждало прибегать к строгой симметрии, уравнивать правую и левую часть композиции, подобно чашкам весов. Зеркальная симметрия способствует впечатлению уравновешенности и покоя, так как она делает полярные направления – в обе стороны от плоскости симметрии – равноценными для нашего взгляда. Она уравнивает его возможности двигаться от этой плоскости в ту или другую сторону. И в орнаменте применение зеркальной симметрии связано с тем же ощущением равновесия и покоя.

4.2 Осевая симметрия.
Принципиально иной вид симметрии присущ тем фигурам, которые совмещаются с самими собой без помощи зеркального отражения, посредством поворота вокруг некой оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Это осевая симметрия, а число таких совмещений на протяжении полного кругового оборота фигуры называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой выражаемый целым числом порядок – от второго до бесконечности (первый порядок означает совмещение фигуры с самой собой лишь в одном, первоначальном её положении, такая фигура ассиметрична). Фигур с осевой симметрией может быть бесчисленное множество, но все они весьма четко организованы, их равные друг другу части распределены вокруг единого центра (точки, через которые проходит ось симметрии) равномерно и в одинаковом к нему отношении. Все углы поворотов, при которых фигура очередной раз совпадает с собой, должны быть равны, иначе полного совмещения не произойдет, расстояния от однохарактерных точек ее контура до центра также должны быть одинаковыми. Осевая симметрия нередко встречается в природе и широко используется в орнаментах: это симметрия цветка и орнаментального орнамента – розетки. Если фигура имеет только осевую симметрию и никакой другой, то она производит впечатление беспокойной подвижности, выражает интенсивное вращательное движение. Но чаще нам приходиться видеть розетки, имеющие не только оси, но и плоскости зеркальной симметрии. Подобные формы гораздо уравновешеннее, спокойнее: вращение правое здесь как бы уравновешивается равноценным ему движением левым. Уравновешена и потому статична такого рода розетка и внутри себя, поскольку здесь отсутствует ассиметрия не только в целом, но и в каждом отдельно взятом элементе ее структуры.
Из сказанного может быть ясно, почему именно мотивы, обладающие симметрией такого рода, получили в орнаментальном искусстве особенное распространение и значение. Завершенность их формы создает образ гармоничного покоя. Цельность и замкнутость формы позволяют организовать любую поверхность, отметив ее центр, противопоставленный периферии. В. А. Фаворский говорил, что розетки есть формы «фасовые» - как «глаза». Это значит, что они обращены от поверхности к зрителю, а не вдоль нее, и потому более статичны, не участвуют в ритмическом беге узора. Поэтому именно розетки могут придать орнаментальной поверхности своеобразную активность в третьем, перпендикулярном к ней измерении.

4.3 Параллельный перенос.
Если вдоль оси равномерно расположить декоративные одинаковые мотивы, то таким образом образуется ленточный орнамент, бордюр, который может быть бесконечно продолжен в обе стороны. Такому орнаменту присуща особая симметрия: если его сдвинуть вдоль оси на одно звено, то каждая из фигур узора наложится на среднюю фигуру, совместится с ней. На практике линейный, ленточный орнамент может строиться не только вдоль прямой оси, но и по ломанной или различным образом изогнутой линии. В любом случае эта линия остается для орнамента осью, т. е. перенос мыслится совершаемым вдоль нее, вслед за любыми ее изгибами и переломами.
Линейный бордюр – один из распространеннейших и важных видов орнамента. Он постоянно применяется там, где нужно ограничить какую-либо поверхность, замкнуть её или же разделить, обособить поверхности с различным художественным качеством.
Бордюр, кроме симметрии переноса, может так же обладать (или не обладать) и другими элементами симметрии. Они возникают в тех случаях, когда тот или другой вид симметрии присущ каждому отдельно взятому элементарному мотиву орнамента, определенным образом ориентированному по отношению к оси.
5. ОРНАМЕНТЫ КИРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

5.1 Зеркальная симметрия.

Орнамент на ротонде Александровского сада

5.3 Параллельный перенос
Решетка сквера около стадиона Динамо

6. ИССЛЕДОВАНИЕ ОРНАМЕНТОВ ГОРОДА КИРОВА

В ходе нашего исследования мы выявили, что в орнаментах нашего города нет какого-то определенного преобладающего вида симметрии. В большинстве орнаментов соединены зеркальная и осевая симметрии. Из этого мы можем сделать вывод, что архитекторы города придерживались уравновешенности и гармонии в его оформлении. Мы также заметили, что многие орнаменты состоят из кругов, ромбов, что в древности символизировало солнце, солнечный свет.
Большинство орнаментов расположены на малых архитектурных формах: на ротондах, арках, решетках. По нашему предположению на решетках орнаменты использовались в качестве оберегов. Они как бы охраняют территорию, которую ограждает эта решетка.
7. САМООЦЕНКА РАБОТЫ.

Мы считаем, что достигли цели нашего проекта. С помощью этой работы студенты могут расширить свои знания по теме «Симметрия» и сформировать умения выявлять виды симметрии в пространстве.
В ходе работы мы столкнулись с некоторыми препятствиями, например в поиске орнаментов города Кирова, так как не все они хорошо сохранились или дошли до наших времен. Также мы узнали много нового из истории орнамента: какое значение придавалось орнаменту в древности. Мы научились верно различать виды симметрии в окружающем мире, непосредственно в орнаментах.
Нам было интересно выполнять эту работу, несмотря на трудности, изучать историю орнамента, находить его на фасадах зданий и на решетках нашего города.

8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Афанасьев А. Н. Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.
2. Климова Н. Т. Народный орнамент в композиции художественных изделий. – М.: Изобразительное искусство, 1993.
3. Рыбаков Б. А. Язычество Древней Руси. – М.: Наука, 1988.
4. Фокина Л. В. Орнамент
5. Тарасов Л. В. Этот удивительно симметричный мир: пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1982.
6. Тинский А. Г. Планировка и застройка города Вятки в 17-19 веках. - Киров, Волго-Вятская кн. изд-во, Кировское отд., 1976.

Макарова Т.И. Симметрия в растительном орнаменте Древней Руси / в книге «Древняя Русь и славяне». - М., 1978. - С. 370.

Орнамент в произведениях древнерусского искусства редко являлся предметом специального исследования. Между тем наблюдение за его развитием позволяет установить определенные закономерности, облегчающие его осмысление. Цель настоящей статьи - проследить формальные закономерности построения орнамента в памятниках искусства XI-XIII вв. и определить причины их стилистической общности. Больше всего этот вопрос был разработан па памятниках письменности.

Палеографом В. Щепкиным были выработаны методологические основы изучения древнерусского орнамента. В. Щепкин заложил основы генетического анализа орнамента, выявляя его исходный элемент (мотив) и характер его изменений (удвоением, делением и т.д.). Далее, он сформулировал механизм создания композиций из отдельных элементов: «комбинация мотивов в орнаменте происходит... на основании инстинктов симметрии и ритма». Наконец, он дал характеристику орнамента в целом, определив, что орнаменты различаются между собой
«1) по содержанию своих мотивов,
2) по способу их сочетания,
3) по характеру своей рамы».
Однако в литературе чаще вспоминают другой аспект работы В. Щепкина - ту классификацию русского книжного орнамента с XI в. до нового времени, которая в основных чертах остается в силе и поныне. Нам представляется, что предложенная В. Щепкиным методика изучении книжного орнамента заслуживает внимания для исследования орнамента в разных областях древнерусского искусства. Попытаемся показать это на примере анализа растительного орнамента Древней Руси.

Н. Щепкин, исходя из перечисленных выше принципов, пришел к выводу, что орнаментация древнейших русских рукописных книг представляет собой известное стилистическое единство. Мысль эта была и в его время уже не новой, но именно В. Щепкину принадлежит попытка вскрыть суть этого единства. Оно, по его мнению, обусловлено тем, что в основе растительного орнамента лежит один и тот же мотив ветка. В тексте В. Щепкин ничего не говорит о происхождении этого мотива, однако на таблице графически показывает, что он образован делением трехлепесткового ростка, который правильнее всего назвать крином 4 (рис. 1, 1, 2), Именно этот элемент лежит в основе растительной орнаментации старейших русских книг: Остромирова Евангелия (1056 г.), Изборника Святослава (1073 г.), Мстислава Евангелия (до 1117 г.), Служебника Вярлмама Хутынсного (XII в.), Юрьевского Евангелия (1119-1123 гг.).

Еще в начале нашего века Н.П. Кондаков отмечал сходство орнаментации древнейших русских миниатюр с перегородчатой эмалью. Это же обстоятельство побудило Б.А. Рыбакова назвать рукописи с орнаментом, близким перегородчатым эмалям, финифтяными. Исследование орнаментации изделий с перегородчатыми эмалями показало, что эта близость заключает в себе нечто большее, чем простое подражание. В основе растительного орнамента и в данном случае оказался тот же элемент крин 8 (рис. 1, 15, 6). Иногда он идентичен крину рукописен, иногда не вполне, по общая схема их рисунка одна: в простейшем варианте это трехлепестковый цветок.

В настоящее время ближневосточное происхождение ростка-криля признается всеми исследователями. Возникновение этого символа в искусство древнейшего очага земледелия вполне логично, как логично его возрождение в земледельческих культурах Европы и Византии. Символика самого образа не исключала попыток (может быть, интуитивных) запечатлеть в нем черты окружающей природы. Но содержание его образа, как символа вечно возрождающихся сил природы, оставалось неизменным. Не будем останавливаться на вопросе, когда этот символ и выражаемая им идея впервые проникли в Восточную Европу. Вероятно, исследование этой проблемы увело бы нас во времена индоевропейской общности. Важнее другое - как эта идея в том конкретном воплощении, которое нам дают древнейшие рукописи, участвовала в построения орнаментальных композиций растительного характера. Этим аспектом проблемы мы и займемся, оставив в стороне вопросы семантики орнамента. В орнаменте крин в простейшем варианте встречается не так уж часто. Как правило, мы имеем дело с его многочисленными модификациями. Здесь мы сталкиваемся со вторым, не менее важным фактором сходства растительного орнамента рукописей и эмалей: в изменениях крина при построении из него композиций наблюдается определенное сходство, какая-то единая программа. Попытаемся проанализировать характер изменений крина сначала на примере рукописного орнамента. Для этого, исходя из сформулированных В. Щепкиным принципов, наметим самую общую его типологию.

Все композиция мы разделяем на два больших отдела: розетку и бордюр. В каждом из них разные группы композиций зависят от тех изменений, которые претерпевает основной элемент растительного орнамента рукописей крин или его производное ветка. Законы симметрии покаpывают, что бесконечное разнообразие орнамента явление кажущееся. Оно сводится к трем основным категориям: розетке, бордюру и сетке, а каждая из них может быть сведена к нескольким видам симметрии.

Рассмотрим основные композиции, образованные крином в растительном орнаменте рукописей, и с точки зрения видов симметрии.

В рукописном растительном орнаменте использованы две категории симметрии: розетка и бордюр. Они дадут два самых крупных деления в нашей типологии. Большинство композиций, составляющих основу богатого ковра растительных узоров рукописных заставок, относятся к розеткам с так называемой зеркальной симметрией. Их характеризует строгое равенство правой и левой половин.

Простейший ее пример демонстрирует крин, заключенный в круг или сердцевидную фигуру (рис. 1, 3, 4). Вторым типом композиции оказывается розетка, в которой подобный крин повторяется четырехкратно (рис. 1,5).

Третий тип композиции обусловлен дальнейшим изменением крина за счет бесконечного усложнения самой схемы его рисунка (рис. 1, 6, 7). При этом зеркальная симметрия постоянно сохраняется. Она присутствует и тогда, когда увеличивается количество лепестков, одни отгибаются вниз, другие отрываются от общего стебля и первоначальный крин с трудом угадывается в пышном цветке (рис. 1, 6); она строго соблюдается и тогда, когда крин сохраняет более строгие очертания, превращаясь в древовидную фигуру с выраженным стволом (рис. 1, 7).

Четвертый тип композиции строится из ветви, образованной делением крина пополам (рис. 1, 7, 2; 8, Л). Из ветвей-полукринов возникают пышные древа, в рисунке которых часто присутствует и крин (рис. 1, 11).

Зеркальная симметрия, одинаково характерная для всех описанных нами четырех групп композиций, придает им уравновешенный, статичный характер.

Рассмотрим теперь вторую категорию орнаментальных композиций рукописей- бордюр, т. е. ленту, состоящую из фигур, вытянутых вдоль одной прямой. Вдоль этой прямой основная фигура как бы переносится бесконечно. В бордюрах рукописного орнамента такой основной фигурой оказывается крин в простейшем (рис. 1, 13) или усложненном виде (рис. 1, 14) или ветвь-полукрин (рис 1, 12). В зависимости от этих основных фигур можно разделить бордюры на два тина. Один из них образует бордюры из повторяющихся или чередующихся кринов разных очертаний (рис. 1, 13, 14)

В другой тип бордюров мы выделяем бесконечный побег, образованный ветвями-полукринами (рис. 1, 12). Ветвь по движению бордюра как бы переносится то вниз, то вверх и создает впечатление беспрерывного движения. Для этого излюбленного в средневековом искусстве мотива, часто называемого бегунком или византийской лозой, характерен строго определенный вид симметрии. Теперь сравним композиции растительного орнамента.

Несмотря на то что на изделиях с перегородчатой эмалью крин получает иногда очертания, для кринов рукописей не свойственные (рис. 1, 18, 20), характер его изменений при построении композиций оказывается тем же, что и в растительном орнаменте рукописей. Здесь мы находим розетки с четырехкратными повторениями крина (рис. 1, 19, 20), усложненные крины древа разных очертаний (рис. 1, 23, 27).

Исключением оказывается розетка с «ветвями-полукринами», не встречающаяся в рукописном орнаменте (рис. 1, 28, 29). С точки зрения теории симметрии они представляют новый ее вид - центральную симметрию, существенно отличную от зеркальной симметрии рассмотренных выше розеток. Для нас интересно отметить, что основным элементом, многократно повторенным в этой розетке, оказывается не симметричный крин, а его половина ветвь, сама по себе асимметричная. Полученная фигура создает влечатление вращения, чем отличается от статичных розеток с кринами (рис. 1, 5; 19, 20).

Бордюры в эмалях дают нам сходные по смыслу и механизму построения композиции. На миниатюрных золотых изделиях нет места бордюру, поэтому с вариантом ленты из розеток с кринами мы встречаемся только дважды (рис. 1). Как мы видим, в растительном орнаменте рукописей и эмалей, помимо сходства основного мотива крина, одинаково сходным оказался и механизм построения композиций. Его обусловливают общие виды симметрии. Исследователь орнамента Узбекистана Л.И. Ремпель пришел к выводу, что наиболее стабильными в орнаменте оказываются не излюбленные мотивы, а «система простейших типических ритмов», образующих как бы его «каркас» 16.

Именно характерные виды симметрии и составили тот «каркас», который оказался одинаковым и в рукописях, и в эмальерном деле. Поэтому можно говорить в данном случае о единой системе орнаментации, поскольку порядок, обусловленный правильным расположением элементов в определенной связи, и означает систему.

Возникает вопрос, в каком отношении находилась рассмотренная система растительной орнаментации в рукописях и эмалях с другими видами искусства Древней Руси? Обратимся для ответа к растительному орнаменту в монументальном искусстве. Это будет логичным потому, что живопись и скульптура представляют вершину в развитии древнерусского орнамента в целом. Немалое значение имеет также и то, что она издана, изучена и поэтому обозрима. Кроме того, те памятники, которые мы возьмем для сравнения: мозаики и фрески Софии Киевской и настенную скульптуру трех соборов Владимиро-Суздальской Руси - Дмитриевского, Рождественского и Георгиевского дают нам возможность проследить эволюцию растительного орнамента на Руси от XI до XIII в. Выбор этот обусловлен и рамками статьи, так как орнамент в узловых памятниках монументального искусства неминуемо должен отразить общие закономерности развития орнамента на Руси.

Итак, обратимся к растительному орнаменту, который выполнен в технике мозаики и фрески в интерьере Софии Киевской, и разберем его структуру, следуя методу, каким пользовались выше.

Простейшим элементом и здесь оказывается крин, по несколько иных очертаний (рис. 1, 32, 33). Он образует розетку, подобную по композиции розеткам в рукописях и эмалях (рис. 1, 34, 35, 46). То же композиционное сходство мы наблюдаем и часто своеобразных по рисунку пышных кринах (рис. 1, 36, 37, 47, 48), всегда остающихся фигурами в зеркальной симметрии. По тому же принципу образованы древа из ветвей (рис. 1, 55, 59, 49, 50).

Наконец, на фресках встречается и центральная симметрия полукринов, создающая впечатление стремительного вращения (рис. 1, 51).
Знакомые композиционные решения дают и бордюры в мозаиках и фресках Софии. В усложненном рисунке лозы легко угадывается более ясный бегунок рукописей (рис. 1, 40, 52). Помимо уже знакомых композиций из чередующихся в горизонтальной ленте кринов (рис. 1, 41, 42), встречается здесь и вертикальная лента кринов (рис. 1, 55). Это единственно новая с точки зрения симметрии композиция, которая не встречалась ни в рукописях, ни в эмалях. Ее композиционная близость с горизонтальными лентами несомненна. Возникновение такого решения бордюра легко объяснимо: его вертикальная лента должна была украшать громадные плоскости интерьера храма, в мелких вещах и небольшом рисунке для нее нет места.

Итак, не во всех вариантах крин мозаик и фресок Софии совершенно идентичен кринам рукописей и эмалей. Иногда он напоминает листья аканта, иногда крылатые пальметты, но при этом остается неизменным характер их вариантов, тот каркас, который так четко наметился в финифтяном орнаменте. Это и позволяет утверждать, что система ранней орнаментации рукописей, эмалей и интерьера Софии Киевской едина.

Если сопоставить эту систему орнаментации с растительным орнаментом, покрывающим стены храмов Владимиро-Суздальской Руси, то простейшим его элементом и здесь оказывается крин. В отдельных случаях он повторяет знакомые трехлепестковые фигуры (рис. 1, 71), чаще же принимает очертания лиственного дерева лесной полосы (рис. 1, 54, 62, 70). Наличие своеобразных вариантов (рис. 1, 64, 73) все же не нарушает типологической близости его с кринами, украшавшими заставку рукописи, золотой колт с эмалью или роспись Софии. Однако розетка с четырехкратно повторенным крипом излюбленная в этих многоцветных узорах к белокаменной пластике не встречается. Очевидно, в трудоемкой резьбе по камню мастера просто избегали мелких форм. Может быть, поэтому эволюция крина здесь пошла как будто по другому пути. Росток превращается в пышный крин (рис. 1, 65, 67) или древо, в рисунке которого многократно повторяется крин (рис. 1, 56, 66). Но самой излюбленной композицией стало разросшееся многоярусное древо, симметрично раскинутые ветви которого заканчиваются то кринами, то полукринами (рис. 1, 78). Упрощенные его варианты (рис. 1, 57, 76, 77) часто повторяют уже встречавшиеся нам древа (рис. 1, 11,26, 39). Во всех этих случаях строго соблюдается принцип зеркальной симметрии, и именно этим многометровые древа владимиро-суздальских храмов родственны кринам рукописей и эмалей.

Больше сходства в бордюрах. Вьющийся побег здесь не частый сюжет, но все же встречается и в простом (рис. 1, 58), и в усложненном вариантах (рис. 1, 79). Зато бордюры другой группы, состоящие из чередующихся или буквально повторяющихся кринов, чрезвычайно разнообразны. Одни из них очень близки бордюрам рукописным (рис. 1, 81), другие представляют как бы их вертикальный вариант (рис. 1, 55, 68), а некоторые усложнены дополнительными фигурами и более вычурны по рисунку самого крина (рис. 1, 80). Композиционное их сходство с рассмотренными ранее бордюрами несомненно.

Итак, на протяжении трех столетий, с XI по XIII в., в растительном орнаменте, украшавшем рукописные книги, драгоценные изделия с перегородчатой эмалью, величественный интерьер главного храма Руси Софии Киевской и знаменитые белокаменные церкви Владимиро-Суздальской земли, устойчиво сохраняется тяга к излюбленным композициям. Ее не нарушают вариации в рисунке символа древа жизни крина, продиктованные и особенностями техники, и многочисленными импульсами, которые получало художественное творчество древнерусских мастеров из разных уголков цивилизованного мира. Каркас создаваемых их фантазией композиций оставался в сущности неизменным. Он был обусловлен определенным набором утвердившихся в разных областях искусства Руси видов симметрии.

Исследование орнаментов народов Сибири, проделанное С.В. Ивановым, показало, что такой набор излюбленных видов симметрии оказывается у каждого парода своим, стабильным на протяжении многих столетий.

В растительном орнаменте городского искусства Руси наиболее постоянным оказался тоже обусловленный законами симметрии композиционный каркас и простейший элемент крин, который у разных народов символизировал вечные силы природы.

Б.Л. Рыбаков в своих работах о декоративном искусстве Древней Руси убедительно показал, что оно было «удивительно единым по своему духу и образам». Орнамент, пронизавший все стороны быта и одинаково царивший во всех областях искусства, во многом способствовал этому единству, «определяя их общий стиль и эпоху».

Мы попытались вскрыть основы этого единства, которое стойко сохранялось в растительном орнаменте «женского узорочья, орнаментике книг и декора архитектуры» на протяжении трех ярчайших столетий русской истории.

“ Искусство орнамента содержит в неявном виде

наиболее древнюю часть известной нам

высшей математике”.

Герман Вейль.

Презентацию подготовила ученица 8 «А» класса МОУ МСОШ №1 Кондратьева Мария.

Преподаватель: Дяденистова Ирина Николаевна.

Секции: Физико-математический, художественно-эстетический.

Показать важную роль симметрии при создании различных орнаментов, украшающих многие предметы декоративно – прикладного искусства народов Севера.

Задачи:

обобщить и расширить представление о симметрии в математике;
расширить представления о сферах применения математики (на примерах проникновения симметрии в искусство);
расширить общекультурный кругозор посредством знакомства с образцами искусства, в частности, с орнаментами народов Севера.

1. познакомиться с основными видами симметрии;

2. познакомиться с основными видами орнаментов;

3. исследовать, какие виды симметрии использовались в орнаментах севера;

Симметрия в целом;
Красота симметрии используется издревле в прикладном искусстве;
Виды орнаментов;
Симметрия на примерах орнаментов народов Севера;

1. Зеркальная симметрия:

Наиболее распространенный вид симметрии в орнаментах. Предмет или фигура делятся на две половины плоскостью так, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости как в зеркале, совпала с другой. Можно встретить зеркальную симметрию и в изобразительных композициях вовсе не орнаментального характера. Зеркальная симметрия способствует впечатлению уравновешенности и покоя, так как она делает полярные направления – в обе стороны от плоскости симметрии – равноценными для нашего взгляда. И в орнаменте применение зеркальной симметрии связано с тем же ощущением равновесия и покоя.

2. Осевая симметрия:

Может иметь любой выражаемый целым числом порядок – от второго до бесконечности (первый порядок означает совмещение фигуры с самой собой лишь в одном, первоначальном её положении, такая фигура ассиметрична). Осевая симметрия нередко встречается в природе и широко используется в орнаментах. Если фигура имеет только осевую симметрию и никакой другой, то она производит впечатление беспокойной подвижности, выражает интенсивное вращательное движение.

Орнаментом называется узор, построенный чередованием в определенном порядке или, как говорят, ритме каких-нибудь рисунков или линий.
Орнамент (от лат. Оrnаmеntum – украшение) – это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений.

В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжать в разные стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена и замкнута.

В каждом из нас существует память рода или генетическая память, которая хранит всё, что окружало наших предков. Пробудить эту дремлющую в нас память нам помогло многоцветье орнаментов. Каждая эпоха, каждая культура вырабатывали свою систему орнаментов. И у народов Севера с развитием культуры появлялись и укоренялись различные орнаменты.

Предмет ввоза народов Севера.

Шкатулка.

Я считаю, что достигла цели моего проекта. Данная работа поможет расширить знания по теме «Симметрия» и сформировать умения выявлять виды симметрии в пространстве.

Так же я узнала много нового из истории орнамента: какое значение придавалось орнаменту в древности. Я научилась верно различать виды симметрии в окружающем мире, непосредственно в орнаментах. Мне было интересно выполнять эту работу, несмотря на трудности, изучать историю орнамента.

В ходе моего исследования я выявила, что в орнаментах саамов (т. е. коренных жителей Севера) нет какого-то определенного преобладающего вида симметрии. В большинстве орнаментов соединены зеркальная и осевая симметрии. Многие орнаменты состоят из кругов, ромбов, что в древности символизировало солнце, солнечный свет. По моему предположению у саамов, на одежде, предметах быта, украшениях и аксессуарах орнаменты использовались в качестве оберегов. Они как бы охраняют себя и свои владения.

Содержание публикуемого материала полностью основано на тщательном научном анализе множества примеров орнаментального искусства палеолита и неолита. Данные, полученные после изучения их симметричных и антисимметричных элементов, убедительно доказывают, что в орнаментах разных народов мира практически нет различий, а элементарные составляющие узоров сохраняются на протяжении всей истории декоративного искусства и представляют собой декоративные архетипы.

В связи с большим количеством информации материал разделен на взаимосвязанные главы. Первая глава - введение, которое вы сейчас читаете. Остальные три главы посвящены соответственно симметрии розеток, одномерным моделям бордюров и двумерным орнаментальным структурам. Данная статья и последующие главы рассказывают о некоторых результаты симметрийного анализа образцов декоративного искусства палеолита и неолита. Они посвящены поиску "декоративных архетипов" - универсального основания всего декоративного искусства. Ведь развитие орнамента всегда шло рядом с развитием человечества и отражает стремление человека к пониманию и выражению закономерностей - факторов, лежащих в основе любого научного знания.

Окончательный вывод, который удалось получить: большинство орнаментальных мотивов, исследованных с точки зрения теории симметрии, являются гораздо более древними, чем мы могли ожидать. Этот факт отодвигает дату появления декоративного искусства на несколько тысяч лет до возникновения самых древних цивилизаций.

Связь визуального искусства с геометрией существовала всегда. Эта связь становится особенно очевидной, когда к изучению декоративно-прикладного искусства мы применяем теорию симметрии. Поэтому, орнаментальное искусство называется у H. Вейля "старейшим аспектом высшей математики, заданной в неявном виде", и у А. Спейсера "предысторией теории групп".

Идея исследования орнаментов разных культур по аналогии с симметрией кристаллов на плоскости (теория Г. Поля ) и применяя теорию групп конечного порядка А. Спейсера , была поддержана интенсивным развитием теории симметрии в 20-м веке. Появился целый ряд работ, посвященных в основном декоративному искусству древних цивилизаций, внесших наибольший вклад в развитие декоративно-прикладного искусства (египетские, арабские, мавританские и др.) , и этническому орнаментальному искусству . Однако только в некоторых из последних работ, исследователи обращаются к самым корням, к истокам декоративно-прикладного искусства, к эпохе палеолита и неолита . Антисимметрия - расширение классической теории симметрии - и наука о цветовой симметрии, позволили провести более глубокий анализ монохроматических и полихроматических орнаментальных мотивов эпохи неолита и древних цивилизаций.

На чем основывался анализ? В первую очередь на том, что орнаментация обычно ограничивается двумерной плоскостью. В данном ключе рассматривались симметричные плоскостные группы: розетки, бордюры и т.д. Дискретная симметрия розеток составила две исследуемые группы: циклическую и диэдральную. Циклическая группа, выражаемая простейшей формулой Dn, создается двумя отражениями на линии пересечения инвариантной точки - центр смещения n-порядка. Узоры циклической группы составляются путем трансляции элементарных компонентов по кругу путем поворота вокруг неподвижной точки, кратной 360 градусам, поделенным на n-порядок. Диедральную группу орнаментов составляют узоры, вписанные в правильные многогранники и правильные многогранники образующие.

Обе группы симметрии - циклическую и диэдральную - легко обнаружить в природных формах.

Рис. 1. Циклическая симметрия в орнаменте и природе

Рис. 2. Диэдральная симметрия в орнаменте и природе

Всего выявлено семь дискретных групп, которые могут быть выражены такой последовательностью: 11, 1g, 12, m1, 1m, mg и mm, где g - обозначает скользящее отражение (от англ. glide), m - обычное отражение. Переменной n мы выражаем вращение n-порядка. Полученная последовательность интерпретируется относительно координатной плоскости, где учитываются элементы, располагающиеся перпендикулярно и параллельно оси смещения.

Рис. 3. Антисимметрия

Когда в последующих главах мы будем упоминать о непрерывных группах симметрии, наличие непрерывного смещения будем обозначать индексом 0, а в антисимметричных группах "антисмещение" будем обозначать символом одинарной кавычки -".

Под термином "преднаучный период" мы понимаем период с 25000-10000 до н.э.

В отсутствие письменных источников, изучение геометрии доисторического периода может вестись только на основе анализа артефактов, где геометрические знания преподносятся в явной форме. Старейшие из артефактов эпох палеолита и неолита - кости, рисунки на камне. Более поздние - роспись керамики, гравировка, прессование, а также архитектурные объекты и сооружения, так называемые мегалитические памятники.

Следующая глава полностью посвящена симметрии розеток .

Список всех четырех глав:

Источники

1. Weyl H., Symmetry, Princeton University Press, Princeton, 1952.
2. Polya G., Uber die Analogie der Kristall symmetrie in der Ebene, Z. Kristall. 60 (1924), 278-282.
3. Speiser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2nd ed., Berlin, 1927.
4. Белов Н.В., Средневековый мавританский орнамент и группы симметрии, Советские физики - Кристаллография 1 (1956), 482-483.
5. Garido J., Les groupes de symetrie des ornaments employes par les anciennes civilisations du Mexique, C.R. Acad. Sci. Paris 235 (1952),1184-1186.
6. Grunbaum B., The Emperor"s New Clothes: Full Regalia, G string, or Nothing, Math. Inteligencer 6, 4 (1984), 47-53.
7. Grunbaum B., Grunbaum Z., Shephard G.C., Symmetry in Moorish and Other Ornaments, Comput. Math. Appl. 12B, 3/4 (1986), 641-653.
8. Muller E., Gruppentheoretische und Strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada, Ph.D. Thesis, Univ. ZUrich, Ruschlikon, 1944.
9. Crowe D.W., The Geometry of African Art I. Bakuba Art, J. Geometry 1 (1971), 169-182.
10. Crowe D.W., The Geometry of African Art, II. A Catalog of Benin Patterns, Historia Math. 2 (1975), 57-71.
11. Crowe D.W., The Geometry of African Art m. The Smoking Pipes of Begho, In The Geometric Vein, ed. C.Davis, B. Grunbaum and F.A. Sherk, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981.
12. Washburn D.K., Symmetry Analysis of Ceramic Design: Two Tests of the Method on Neolithic Material from Greece and the Aegean, In Structure and Cognition in Art, Cambridge University Press, London, 1983.
13. Jablan S.V., Theory of Symmetry and Ornament, Mathematical Institute, Beograd, 1995.
14. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika I, Dijalektika 1-4 (1985), 107-148.
15. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika II, Dijalektika 3-4 (1986), 13-56.