Сфера все формулы и свойства. Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы

- (греч. sphaira шар). 1) твердое тело, в котором все точки поверхности одинаково отдалены от внутренней точки, называемой центром шар; изображение земли в виде глобуса. 2) часть пространства, в котором планета совершает свой путь. 3) в фигуральном … Словарь иностранных слов русского языка

Жен., греч. шар, шарообразное тело или пустота, или изображенье его на бумаге; в приложении к небесным телам: шар обращаемый на оси своей, представляющий землю нашу, или небесную твердь, с означеньем всех воображаемых кругов. Армилярная сфера,… … Толковый словарь Даля

сфера - ы, ж. sphère f. <гр. sphaira. 1. геом. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра /. БАС 1. | перен. Сфер десять пролетев воздушных, Узрел вдали питейный дом. И. Наумов Ясон. // Ирои комич. поэма 560. 2.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Сферы, жен. [греч. sphaira шар]. 1. То же, что шар (мат.). 2. перен. Область, место, пределы, в к рых существует, действует, развивается, применяется что н. (книжн.). «Смотря по свойству поэтического таланта и по степени его выработанности, сфера … Толковый словарь Ушакова

СФЕРА, ы, жен. 1. Область, пределы распространения чего н. С. деятельности. С. влияния. 2. Среда, общественное окружение. В своей сфере. Высшие сферы (о правящих, аристократических кругах). 3. Замкнутая поверхность, все точки к рой равно удалены… … Толковый словарь Ожегова

См. область … Словарь синонимов

Сфера - (Хабаровск,Россия) Категория отеля: 3 звездочный отель Адрес: Переулок Дежнева 15, Хабаровск … Каталог отелей

Сфера компонент сложных слов, означающих: 1) одну из оболочек планет и звёзд: астеносфера атмосфера барисфера биосфера геосфера гетеросфера гидросфера гомосфера ионосфера литосфера магнитосфера мезосфера стратосфера субстратосфера… … Википедия

- (от греческого sphaira шар), 1) область действия, пределы распространения чего либо (например, сфера влияния). 2) Общественное окружение, среда, обстановка … Современная энциклопедия

- (от греч. sphaira шар) 1) область действия, пределы распространения чего либо (напр., сфера влияния).2) Общественное окружение, среда, обстановка …

Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра сферы). Отрезок, соединяющий центр сферы с какой либо ее точкой (а также его длина), называется радиусом сферы. Площадь поверхности сферы S=4?R2, где R радиус сферы … Большой Энциклопедический словарь

Книги

Сфера , Эггерс, Дэйв. Роман лидера новой волны американской литературы, жестокая сатира на современный мир социальных сетей и сплошного белого шума. СФЕРА - корпорация добра: она совершенствует мир, делая его…
Сфера , Дэйв Эггерс. Мэй Холланд крупно повезло. Она работает в идеальной компании «Сфера» – союз блистательных умов поколения, где все прислушиваются ко всем и все вдохновенно совершенствуют мир. Здесь Мэй…

Шар ( сфера )

Сферическая поверхность. Шар (сфера). Сечения шара: круги.

Теорема Архимеда. Части шара:шаровой (сферический) сегмент,

шаровой слой, шаровой пояс, шаровой сектор.

Сферическая поверхность – это геометрическое место точек ( т.е. множе ство всех точек ) в пространстве, равноудалённых от одной точки O, которая называется центром сферической поверхности ( рис.90 ). Радиус AOи диаметр AB определяются так же, как и в окружности.

Шар (сфера ) - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг ) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара – круги (рис.90 ). Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом . Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара (AB, рис.91 ).Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (A и B , рис.91 ), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Объём шара в полтора раза меньше объёма описанного вокруг него цилиндра (рис.92 ), а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра ( теорема Архимеда ):

Здесь S шара и V шара - соответственно поверхность и объём шара;

S цил и V цил - полная поверхность и объём описанного цилиндра.

Части шара. Часть шара (сферы ), отсекаемая от него какой-либо плоскостью (ABC, рис.93 ), называется шаровым (сферическим ) сегментом . Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями ABC и DEF, пересекающими сферическую поверхность ( рис.93 ), называется шаровым слоем ; кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом ( зоной ). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота . Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB, рис.93) и конической поверхностью OABC, основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O, называется шаровым сектором .

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.

Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.

Шар

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.

Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

где R — радиус сферы.

Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»

Сфера - это одно из первых тел, обладающих высокой симметрией, свойства которого изучают в школьном курсе геометрии. В данной статье рассматривается формула сферы, ее отличие от шара, а также приводится расчет площади поверхности нашей планеты.

Сфера: понятие в геометрии

Чтобы лучше понять формулу поверхности, которая будет дана ниже, необходимо познакомиться с понятием сферы. В геометрии она представляет собой трехмерное тело, которое заключает в себе некоторый объем пространства. Математическое определение сферы следующее: это совокупность точек, которые лежат на определенном одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки, называемой центром. Отмеченное расстояние - это радиус сферы, который обозначается r или R и измеряется в метрах (километрах, сантиметрах и других единицах длины).

На рисунке ниже приведена описанная фигура. Линии показывают контуры ее поверхности. Черная точка - центр сферы.

Получить эту фигуру можно, если взять окружность и начать ее вращать вокруг любой из осей, проходящей через диаметр.

Сфера и шар: в чем разница и в чем сходство?

Часто школьники путают эти две фигуры, которые внешне похожи друг на друга, но обладают совершенно разными физическими свойствами. Сфера и шар в первую очередь отличаются своей массой: сфера - это бесконечно тонкий слой, шар же - это объемное тело конечной плотности, которая одинакова во всех его точках, ограниченных сферической поверхностью. То есть шар обладает конечной массой и является вполне реальным объектом. Сфера - это фигура идеальная, не имеющая массы, которая в действительности не существует, но она является удачной идеализацией в геометрии при изучении ее свойств.

Примерами реальных объектов, форма которых практически соответствует сфере, являются новогодняя игрушка в виде шарика для украшения елки или мыльный пузырь.

Что касается сходства между рассматриваемыми фигурами, то можно назвать следующие их признаки:

обе они обладают одинаковой симметрией;
для обеих формула площади поверхности является одинаковой, более того, они обладают равной площадью поверхности, если их радиусы равны;
обе фигуры при равных радиусах занимают одинаковый объем в пространстве, только шар его заполняет полностью, а сфера лишь ограничивает своей поверхностью.

Сфера и шар равного радиуса приведены на рисунке ниже.

Заметим, что шар, так же как и сфера, является телом вращения, поэтому его можно получить, если вращать вокруг диаметра круг (не окружность!).

Элементы сферы

Так называются геометрические величины, знание которых позволяет описать либо всю фигуру, либо отдельные ее части. Основными ее элементами являются следующие:

Радиус r, который уже был упомянут ранее. Он является расстоянием от центра фигуры до сферической поверхности. По сути, это единственная величина, которая описывает все свойства сферы.
Диаметр d, или D. Это отрезок, концы которого лежат на сферической поверхности, а середина проходит через центральную точку фигуры. Диаметр сферы можно провести бесконечным числом способов, но все полученные отрезки будут иметь одинаковую длину, которая равна удвоенному радиусу, то есть D = 2*R.
Площадь поверхности S - двумерная характеристика, формула для которой будет приведена ниже.
Связанные со сферой трехмерные углы измеряются в стерадианах. Один стерадиан - это угол, вершина которого лежит в центре сферы, и который опирается на часть сферической поверхности, имеющей площадь R 2 .

Геометрические свойства сферы

Из приведенного описания этой фигуры можно самостоятельно догадаться об этих свойствах. Они следующие:

Любая прямая, которая пересекает сферу и проходит через ее центр, является осью симметрии фигуры. Поворот сферы вокруг этой оси на любой угол переводит ее в саму себя.
Плоскость, которая пересекает рассматриваемую фигуру через ее центр, делит сферу на две равные части, то есть является плоскостью отражения.

Площадь поверхности фигуры

Эта величина обозначается латинской буквой S. Формула вычисления площади сферы имеет следующий вид:

S = 4*pi*R 2 , где pi ≈ 3,1416.

Формула демонстрирует, что площадь S может быть вычислена при условии знания радиуса фигуры. Если же известен ее диаметр D, тогда формулу сферы можно записать так:

Иррациональное число pi, для которого приведены четыре знака после запятой, в ряде математических расчетов можно использовать с точностью до сотых, то есть 3,14.

Любопытно также рассмотреть вопрос, скольким стерадианам соответствует вся поверхность рассматриваемой фигуры. Исходя из определения этой величины, получаем:

Ω = S/R 2 = 4*pi*R 2 /R 2 = 4*pi стерадиан.

Для вычисления любого объемного угла следует в выражение выше подставить соответствующее значение площади S.

Поверхность планеты Земля

Формулу сферы можно применить для определения на которой мы живем. Перед тем как приступать к вычислениям, следует сделать пару оговорок:

Во-первых, Земля не обладает идеальной сферической поверхностью. Ее экваториальный и полярный радиусы равны 6378 км и 6357 км соответственно. Отличие между этими цифрами не превышает 0,3%, поэтому для расчета можно взять средний радиус 6371 км.
Во-вторых, рельеф является трехмерным, то есть на ней имеются впадины и горы. Эти характерные особенности планеты приводят к увеличению ее площади поверхности, тем не менее, в расчете их учитывать не будем, поскольку даже самая большая гора, Эверест, составляет 0,1% от земного радиуса (8,848/6371).

Используя формулу сферы, получаем:

S = 4*pi*R 2 = 4*3,1416*6371 2 ≈ 510,066 млн. км 2 .

Россия, по официальным данным, занимает площадь 17,125 млн км 2 , что составляет 3,36% от поверхности планеты. Если же учесть, что к суше относятся лишь 150,387 млн км 2 , тогда площадь нашей страны составит 11,4% от всей территории, не покрытой водой.

В главе 2 мы продолжим “строительную геометрию" и расскажем о строении и свойствах важнейших пространственных фигур - шара и сферы, цилиндров и конусов, призм и пирамид. Большинство предметов, созданных руками человека, - здания, машины, мебель, посуда и т.д., и т.п., состоит из частей, имеющих форму этих фигур.

§ 4. СФЕРА И ШАР

После прямых и плоскостей сфера и шар - самые простые, но очень важные и богатые разнообразными свойствами пространственные фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности - сферы - написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно, в последние годы. Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т.д. Мы можем доказать лишь самые простые свойства шара. Доказательства других, хотя и очень важных свойств, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объем у шара.

4.1. Определения сферы и шара.

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости. Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной

ной точки на одно и то же (положительное) расстояние.

Эта точка называется центром сферы, а расстояние - ее радиусом (рис. 4.1).

Итак, сфера с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися на расстоянии не большем данного (положительного) расстояния от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние - его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.